Creación de superficies

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Una superficie se puede generar mediante algoritmos especialmente diseñados para ello que toman datos de puntos, de líneas o de polígonos como muestra y los convierten en una superficie 3D digital. Estos modelos de superficie se pueden crear a partir de una amplia variedad de fuentes de datos. Los dos métodos principales a la hora de crear modelos de superficie son la interpolación y la triangulación. Existen diversos métodos de interpolación para crear superficies de ráster, como Kriging, Inverso a la distancia y Lineal con anisotropía.

Métodos de interpolación

Lineal con anisotropía

Este algoritmo crea una red de interpolación uniendo los puntos con datos mediante líneas. Sobre cada segmento que une dos puntos, se realiza una interpolación lineal, usando los datos de cada vértice del segmento.

Muchas veces, en la naturaleza, los fenómenos presentan alguna dirección preferencial, generando así una anisotropía en el parámetro medido. Por ejemplo, al realizar un mapa topográfico de una meseta que presenta un acantilado, hay que tener en cuenta que los datos de elevación van a presentar una distribución preferencial, mostrando la mayor variación de cotas en sentido perpendicular al acantilado. De esta manera, puede definirse una elipse de influencia, con el semieje mayor orientado en la dirección de menor variación y, el semieje menor en la dirección de mayor variación.

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Método de interpolación lineal. A partir de la nube de puntos (a) se va trazando una red (b) y (c), sobre las cuales se interpola linealmente, obteniendo una superficie.

Inverso a la distancia

La idea general de este método de interpolación es que un punto incógnita (es decir, que se desconoce el valor de la propiedad del punto que se está evaluando, por ejemplo la cota) va a tener propiedades similares a los puntos conocidos más cercanos y, va a diferir de los más alejados.

La interpolación mediante Inverso a la distancia determina los valores de un punto a través de una combinación ponderada linealmente de un conjunto de puntos de muestra. El factor de ponderación es inversamente proporcional a la distancia que separa al punto en cuestión del punto muestreado. La distancia puede ser elevada a alguna potencia mayor a cero, para que las muestras que estén más cercanas al punto que se desea calcular, tengan mayor peso a la hora de estimar el valor. El valor del punto en cuestión es calculado mediante la siguiente fórmula:

\(Z_x = \frac{\sum\limits_{i=1}^N \cfrac{z_i}{d_i^\alpha}}{\sum\limits_{i=1}^N \cfrac{1}{d_i^\alpha}} \;\;\; \text{ donde }\;\;\;(\alpha > 0)\)

Además, el algoritmo puede tener en cuenta un radio de búsqueda máximo, de manera tal que solo se incluirán en el cálculo aquellos puntos cuya distancia sea menor al radio especificado. Al igual que en el método Lineal con anisotropía, puede generarse una elipse de búsqueda si los datos utilizados presentan una anisotropía del parámetro modelado.

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Método de interpolación de Inverso a la distancia.

Kriging

Kriging es un procedimiento geoestadístico avanzado que genera una superficie estimada a partir de un conjunto de puntos dispersados con valores z. Pero, a diferencia de otros métodos de interpolación, para utilizar Kriging en forma efectiva es necesario realizar una investigación del comportamiento espacial del fenómeno antes de seleccionar el mejor método de estimación para generar la superficie.

Mientras que los métodos mencionados anteriormente son considerados métodos de interpolación determinísticos (porque están basados directamente en los valores medidos circundantes), el Kriging es un método geoestadístico, que tiene en cuenta las relaciones estadísticas entre los puntos medidos. Gracias a esto, además de producir una superficie, también proporciona alguna medida de certeza de las predicciones.

Kriging presupone que la distancia o la dirección entre los puntos de muestra reflejan una correlación espacial que puede utilizarse para explicar la variación en la superficie. La herramienta Kriging ajusta una función matemática (Variograma) a una cantidad especificada de puntos o a todos los puntos dentro de un radio específico para determinar el valor de salida para cada ubicación.

El método Kriging es similar al de Inverso a la distancia, en el sentido de que pondera los valores medidos circundantes para calcular una predicción de una ubicación sin mediciones. La fórmula general del Kriging es:

\(Z_x = \sum\limits_{i=1}^N\ \lambda_i\ Z_i \)

Donde: \(\lambda\) = coeficiente de ponderación para el valor \( Z_i\) conocido.

Para realizar un Kriging son necesarios dos pasos:

  1. Crear los variogramas empíricos para corroborar y determinar la correlación espacial entre los datos y luego ajustar un modelo, es decir que se calcula una función matemática que representa el mejor ajuste de los datos observados.
  2. Calcular el valor de la variable buscada en un punto desconocido.

La creación del variograma empírico se realiza midiendo todas las distancias entre los puntos con datos y calculando la covarianza (\(\gamma_{(h)}\)) para cada distancia o conjunto de distancias mediante la siguiente fórmula:

\(\gamma_{(h)} = \cfrac{1}{2}\ promedio({(valor_i – valor_j)}^2)\)

A partir del gráfico del variograma empírico, se puede observar que a partir de cierto punto, el variograma tiende a nivelarse. La distancia a la cual se produce esta nivelación se denomina alcance e indica que a partir de esta distancia, los puntos no presentan correlación espacial. El valor que obtiene la covarianza a partir del alcance se denomina meseta. Si bien es de esperarse que a una separación nula (distancia = 0), la covarianza sea cero, normalmente se observa que la curva modelada corta al eje de las ordenadas en un valor distinto de cero. Esto se conoce como efecto pepita, el cual puede atribuirse a errores de medición o a variación espacial en distancias que son menores que el intervalo de muestreo (o a ambas cosas).

El variograma empírico proporciona información sobre la correlación espacial de los datos. Sin embargo, no suministra información para todas las direcciones y distancias posibles. Por esta razón, es necesario ajustar un modelo (es decir, una función o curva continua) al semivariograma empírico. En resumen, esto es similar al análisis de regresión, en el que se ajusta una línea o curva continua a los puntos de datos. Existen diversos modelos posibles para un variograma, algunos de ellos son:

  • Circular
  • Esférico
  • Exponencial
  • Gaussiano
  • Lineal

Una vez elegido el tipo de modelo, se pueden calcular el γ(h) para cualquier distancia elegida, a partir de la fórmula correspondiente al modelo seleccionado. Con estos datos se confecciona un sistema de ecuaciones, donde las incógnitas son los coeficientes de ponderación (λ) para cada punto conocido. Una vez resuelto el sistema de ecuaciones, finalmente, puede estimarse el punto desconocido mediante la primera fórmula mencionada.

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Imagen superior: Creación del variograma empírico. Imagen inferior: Ajuste del variograma empírico a un modelo

Triangulación

La Triangulación consiste en otro método para representar superficies, mediante una red irregular de triángulos (TIN, por sus siglas en inglés), conectando los vértices con una serie de aristas para formar la red de triángulos. Existen diversos métodos de interpolación para formar estos triángulos, como la triangulación de Delaunay o el orden de distancias. La construcción de la red se realiza de manera tal que cada triángulo no debe contener ningún vértice de otro triángulo.

La triangulación de Delaunay pone como condición que la circunferencia circunscrita de cada triángulo de la red no debe contener ningún vértice de otro triángulo.

Los modelos de TIN tienden a ser más costosos de procesar, en comparación a los procesos de interpolación, debido a la compleja estructura de datos que se genera.

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A la izquierda: Triangulación de Delaunay. A la derecha: Resultado obtenido al unir los triángulos.